COMENZANDO LAS CLASES

Estimados Alumnos:

Estamos por comenzar nuestro curso. Además de utilizar este medio, también esta disponible el Campus Virtual de nuestra facultad, cuya dirección es: http://economicas.educativa.com/ en el cual deben ingresar su usuario y la clave.
En el dictado del curso colaboran los siguientes docentes:

• 1) Lic. en Economía: Esteban Otto Thomasz


• 2) Estudiante de la Carrera de Economía y Actuario: Roberto Jasinski


• 3) La Doctora en Física: Adriana Caniggia.
  
  Cordialmente.
  
  Juan R. Garnica Hervás

“TEORÍA DEL CAOS APLICADA A MERCADOS FINANCIEROS”

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS - UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

MATERIA
“TEORÍA DEL CAOS APLICADA A MERCADOS FINANCIEROS” (762)

Docente y Creador Del Proyecto: Juan Ramón Garnica Hervás

I. OBJETIVOS GENERALES

La misión de la materia es construir modelos mentales útiles para analizar fenómenos cada vez más complejos. Para ello se hará uso del marco conceptual de la denominada “teoría del caos”. Se pondrá como eje la cuestión de la modelización en la ciencia económica, en base a una sólida síntesis epistemológica, introduciendo conceptos de la dinámica no lineal y, más específicamente, de los modelos no lineales con sensibilidad a las condiciones iniciales o modelos caóticos. Se intentará:
§ Determinar la modelización en la evolución de sistemas dinámicos no lineales, en general caóticos, en el área financiera, económica, actuarial y de gestión;
§ Generar modelos útiles para la toma de decisiones en base a arquetipos de sistemas caóticos;
§ Identificar qué variables financieras, económicas o actuariales presentan comportamiento caótico;

Algunos temas a tratar en los diversos campos de estudio:
§ Campo financiero: Analizar la lógica del mercado internacional de capitales e identificar hechos estilizados importantes para su modelización. Evaluación de los supuestos de las teorías clásicas (CAPM, valuación de opciones, etc). Modelización de evolución de precios de acciones, estimación del riesgo a través de indicadores distintos a la varianza, como ser los exponentes de Hurst y Lyapunov. Análisis de fractalidad. Teoría del comportamiento en el mercado bursátil. Movimiento browniano y críticas al supuesto de normalidad.
§ Campo actuarial: Análisis de los supuestos que sustenten el diseño de bases actuariales en fenómenos que presenten comportamiento caótico, como por ejemplo, en los seguros climáticos.
§ Campo económico: Presentar técnicas de análisis y construcción de modelos de crecimiento económico a partir de herramientas aplicadas en la teoría del caos: no linealidad, fractales, recursividad, ciclos aperiódicos, bifurcaciones, sensibilidad a las condiciones iniciales, etc. Implicancias de la existencia de una dinámica endógena frente a los modelos de shocks estocásticos. Modelos complejos y modelos auto-organizados. Racionalidad acotada.
§ Campo de la administración: Teoría de la complejidad. Análisis organizacional desde la visión de la empresa como sistema complejo: convivencia del “orden y el desorden”. Implicancias para la toma de decisiones estratégicas.

METODOS MATEMATICOS EN LA ECONOMIA

1. INTRODUCCION

En 1992, la Unión Matemática Internacional declaró el año 2000 Año Mundial de las Matemáticas, con los objetivos siguientes: * Determinar los grandes desafíos matemáticos del siglo XXI, * Proclamar a las Matemáticas como una de las claves fundamentales del desarrollo * Impulsar su presencia sistemática en la sociedad de la información.

La UNESCO acordó en su Conferencia General de 1997 su apoyo y patrocinio del año 2000 como Año Mundial de las Matemáticas.

Las matemáticas, aplicadas a diferentes campos del saber se identifican frecuentemente como algo difícil y lejano a todo planteamiento humanista. Pero la mejor defensa de la componente matemática en la economía es tomar conciencia de sus potencialidades, pero mucho más de sus limitaciones

Debo recordar lo que decía John Maynard Keynes sobre lo que es un economista: “Tiene que alcanzar un nivel elevado en diferentes direcciones y debe reunir talentos que no se encuentran juntos. Debe ser matemático, historiador, estadista y filosofo. Debe comprender los símbolos y hablar con palabras. Debe contemplar aspectos particulares con un todo, abordar conjuntamente lo abstracto y lo concreto. Debe estudiar el presente en función del pasado y pensando en el futuro....”
Keynes en su "Teoría General", describía así el estado en nuestro campo: "Una proporción demasiado elevada de economía "matemática" (entre comillas en el original) reciente ha sido meramente fraguada, tan imprecisa como los supuestos iniciales sobre los que se basa, que permite a los autores perder de vista las complejidades e interdependencias del mundo real en un laberinto de símbolos pretenciosos e inútiles"


2. DEFINICION: METODOS MATEMÁTICOS EN LA ECONOMIA
Procedimientos basados en la utilización de las matemáticas, que se aplican en la ciencia y la práctica económicas; surgen como consecuencia del desarrollo de la producción, del progreso científico-técnico y de la mayor complejidad que alcanzan la problemática económicas. Los métodos económico-matemáticos permiten hallar la solución óptima a muchos problemas económicos, por ejemplo: determinar cuál es la mejor manera de utilizar los potenciales de producción para cumplir la tarea fijada en el plan, elaborar el plan más económico de transportes, hallar la variante óptima para emplazar la producción, etc...
Estos métodos permiten expresar los procesos económicos reales en forma de determinados sistemas de ecuaciones y desigualdades. Los sistemas aludidos se denominan modelos económico-matemáticos. Con ellos pueden efectuarse distintos experimentos que permiten hacerse cargo de los cambios que cabe esperar en la economía si se aplican tales o cuales medidas económicas. Existen modelos de la formación de precios, modelos de los nexos económicos de una zona económica y otros. El desarrollo de los métodos matemáticos en la economía es condición necesaria para llevar a cabo complicados cálculos económicos con la aplicación de la computación.

3. APORTACIONES DE LA MATEMATICA A LA METODOLOGIA ECONOMICA
La utilización explícita de las matemáticas en economía data de hace más de un siglo, y también es el debate sobre las contribuciones de dicho instrumento. La polémica sobre el papel de las matemáticas en economía se desarrollo por el aumento de la cantidad de escritos económicos en forma matemática, y la diversidad de teorías y conceptos matemáticos introducidos en economía.
Las matemáticas son beneficiosas para la economía en varios aspectos:
hacen más explícitos los supuestos y las premisas
hacen más concisa y más precisa la presentación de la teoría económica
permiten al economista tratar con mayor facilidad los problemas económicos con más de dos dimensiones.

Las matemáticas son un medio auxiliar para la investigación. Como tal, su utilidad está ampliamente comprobada y el economista que sabe usarlas en ese sentido encontrará en ellas una valiosa ayuda para simplificar, aclarar y verificar su razonamiento para construir modelos que le podrán llevar a interesantes conclusiones. Los avances en la aplicación de los métodos matemáticos a la teoría económica y el desarrollo de computadores permiten trabajar con modelos de mucha mayor complejidad

El principal argumento para la formalización (matematización) de la economía es que ésta no puede llegar a ser verdaderamente científica hasta que no sea lo rigurosa y completa que debe ser una ciencia; hasta que sus proposiciones fundamentales hayan sido contrastadas y probadas. Los economistas favorables al uso de las matemáticas argumentan que un mayor respeto por la economía como disciplina científica e independiente, sólo se conseguirá por medio de la aplicación de rigurosos instrumentos matemáticos y estadísticos.

Algunos críticos argumentan que la naturaleza de la ciencia social, de la que la economía es una parte, hace imposible la formulación y verificación exactas. Mantienen que la cantidad y calidad de los datos económicos son a menudo insuficientes para la tarea que debe desarrollarse

También ciertos metodólogos han puesto el acento sobre el carácter no predecible del entorno económico: “es necesario reconocer, como parte del método científico que el sistema económico se mueve……desde un paso irrevocable hacia un futuro incierto o estadísticamente impredecible."

4. CONCLUSION

La teoría económica se sirve de modelos para lograr dar una explicación a los fenómenos del mundo real e intentar hacer predicciones certeras sobre el futuro. Existe una extensa tipología de la modelización, pero todos los modelos se basan en la aplicación de los principios de racionalidad (“homo economicus”), maximización y equilibrio. Es posible que, a primera vista, estos principios nos resulten irreales y poco lógicos como instrumentos de trabajo. Pero sería absurdo ser tan simplistas y descalificar desde un principio a los constructores de los modelos.
Es más lógico preguntarse por qué se ha elegido esta técnica de trabajo y no otra en lugar de afirmar que los economistas sólo saben hablar de u mundo inventado. Y si nos hacemos esta pregunta e indagamos en la historia del pensamiento económico y en sus desarrollos recientes encontramos que el uso de estos principios irreales es lo que permite a la investigación seguir adelante y que, sin ellos y su formalización matemática, no habrían podido llevarse a cabo avances muy positivos.
Por tanto no perdamos de vista que en una ciencia social como la economía, donde se
exigen resultados y teoremas que tengan aplicación práctica en política económica, el
uso de supuestos no óptimos es un precio que hay que pagar para lograr avanzar en la
investigación.


La primera función de las matemáticas en Economía, es pues la modelización cuantitativa de la realidad económica.
La matematización del modelo económico exige el desarrollo de las matemáticas necesarias para explicar los fenómenos económicos y, de este modo, profundizar adecuadamente en ellos. Siguiendo a Chiang , son varias las ventajas del enfoque matemático que se utiliza para alcanzar el conocimiento económico: el lenguaje que emplea es más conciso y preciso que el del discurso corriente; las matemáticas al mismo tiempo que agilizan el razonamiento, obligan a formular explícitamente las hipótesis, protegiéndonos del riesgo de adoptar, aunque sea sin intención, hipótesis implícitas no deseadas; además, nos permite resolver casos en
que intervienen muchas variables, imposibles de sintetizar con el lenguaje usual o de
captar por medios intuitivos.
La construcción de modelos y la apreciación del grado de exactitud alcanzable mediante ellos, es un problema que requiere la colaboración de un equipo de investigadores interdisciplinarios: el economista obtiene el modelo económico, el matemático plantea y resuelve el modelo matemático y, el estadístico y el económetra contrastan sus resultados con la realidad.
El otro gran problema de la economía al que las matemáticas proporcionan soporte es el problema de la decisión. El problema clásico de la teoría de la decisión consiste en elegir entre todas las alternativas posibles aquellas que sean más apropiadas para el decisor. En términos matemáticos se trata de resolver un problema de optimización.
El planteamiento tradicional de un problema supone implícitamente que las
preferencias del decisor se pueden representar matemáticamente mediante una función,
la función objetivo, que permitirá ordenar las posibles decisiones asignándoles a cada
una de ellas un cierto índice de deseabilidad.

Efectuando un resumen Paul Samuelson, uno de los postuladores del la Economia Matematica ha dicho respecto a la utilizacion de modelos “...que yo jamás menosprecio los estudios econométricos, pero he aprendido, a través de una triste experiencia, a tomármelos con bastante calma”

Para muchos economistas, lo importante es no tener que decidir entre una opción matemática y otro no-matemático para la economía. “Es lamentable que el rápido desarrollo de la economía matemática haya tendido a separa a los economista en una fracción literaria y otra matemática. Los proponentes del método matemático tienden a hablar solamente de matemáticas en comparación con un pensamiento literario confuso y los oponentes tienden a hablar solamente de matemáticas deficientes en relación con el pensamiento claro y lógico. La formación matemática nunca convertirá a un gran economista en un economista mediocre, pero r otro lado, como señalaba Stigle, tampoco convertirá a un económico mediocre en un gran economista”

La elección no es pues utilizar o no las Matemática en Economía, sino entre hacerlo o no con las suficientes garantías y en las dosis adecuadas. “El hecho de que algunos analista desarrollen formulaciones teóricas carentes de garantía, con el único fin de utilizar técnicas matemáticas especificas no debe emplearse como argumento contra la economía matemática, sino que supone mas bien un empleo deficiente del método matemático... No puede negarse ciertamente que podrían aclararse muchos conceptos confusos aplicando algunos de los paso lógicos que se emplean en el proceso matemático riguroso, aunque también puede ser cierto lo contrario”

Me adhiero a lo que señala Cachanosky “ .. Con todas estas limitaciones el análisis matemático y estadístico son de una gran utilidad para las proyecciones...sin estas herramientas las predicciones tendrían que hacerse prácticamente a ciegas y, por lo tanto, el margen de error seria mucho más amplio. Pero no debemos confundir esta gran utilidad de las matemáticas y las estadísticas con hacer que la “teoría” económica sea mas rigurosa que usando prosa...El uso de matemática en economía ha llevado a errores y contradicciones muy importantes además de haber desarrollado teorías sobre supuestos tan irrealistas que cualquier semejanza con la realidad es pura casualidad...”

De lo desarrollado parece deducirse que el inconveniente principal en el empeño de muchos economistas en resolver sus problemas en base a principio matemáticos que se desarrollaron paralelamente a las llamadas ciencias físicas o de comportamientos estáticos. Sus hipótesis son a veces demasiado limitadas y concretas para explicar a priori determinados procesos sociales y humanos. Según Leontief en contraste con las ciencias físicas, estudiamos un sistema que es no solo excesivamente complejo sino que esta en un estado de cambio constante.

Puesto que “La teoría económica no trata sobre cosas y objetos materiales, trata sobre los hombres, sus apreciaciones y, consecuentemente, sobre las acciones humanas de que aquellas se derivan. Los bienes, mercancías, la riqueza y todas las demás nociones de la conducta humana no son elementos de la naturaleza sino elementos de la mente y de la conducta humana. Quien desee entrar en este segundo universo debe olvidarse del mundo exterior, centrando su atención en lo que significan las acciones que persiguen los hombres. La producción no es un hecho físico, natural y externo; al contrario, es un fenómeno intelectual y espiritual"
“Aquellas leyes que son puramente materiales corresponden a la ciencia física con exclusividad; y las que son leyes de la mente humana, y solo ellas, pertenecen a la economía política”

Las matemáticas son un medio auxiliar para la investigación. Como tal, su utilidad está ampliamente comprobada y el economista que sabe usarlas en ese sentido encontrará en ellas una valiosa ayuda para simplificar, aclarar y verificar su razonamiento o para construir modelos que le podrán llevar a interesantes conclusiones. Pero conviene recordar que no son las matemáticas las que hacen al economista, y sea cual fuera la conclusión a que pueda conducir una deducción matemática, ella debe ser controlada y comprobada en su validez por un criterio realista educado en la observación y el análisis crítico de los hechos.
En un estudio necrológico de R.Frisch, dedicado a Joseph Schumpeter, y al referirse a la posición que tenia frente a la econometría encontramos estas frases:
«Las matemáticas; hasta la forma más refinada de matemáticas; son una herramienta necesaria, pero no más que una herramienta. Ninguna clase de tecnicismo matemático, por muy refinado que sea, podrá jamás reemplazar la intuición, esa función inexplicable que tiene su lugar en el cerebro de un gran intelecto que, al mismo tiempo, entiende matemáticas y teoría económica en un sentido más ortodoxo y que ha vivido suficiente tiempo (o mejor dicho con intensidad suficiente) como para acumular experiencia humana y sentido de los hechos».

ANEXO : LISTADO DE PREMIOS NOBEL DE ECONOMIA :59 Personas han ganado este premio desde 1969, se observa que la gran mayoría de ellos tienen formación matemática, uno más fuerte que otros, y la utilizan en sus investigaciones

TEORIA DEL CAOS (θεωρειν Χάος)

Teoria del Caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas y la física que trata ciertos tipos de comportamientos impredecibles de los sistemas dinámicos. Los sistemas dinámicos se pueden clasificar básicamente en:
· Estables
· Inestables
· Caóticos
Un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u órbita, según su dimensión (atractor). Un sistema inestable se escapa de los atractores. Y un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos. Por un lado, existe un atractor por el que el sistema se ve atraído, pero a la vez, hay "fuerzas" que lo alejan de éste. De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo.
Una de las mayores características de un sistema inestable es que tiene una gran dependencia de las condiciones iniciales. De un sistema del que se conocen sus ecuaciones características, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de tales sistemas incluyen la atmósfera terrestre, el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población.
Por ejemplo, el tiempo atmosférico, según describió Edward Lorenz, se describe por 3 ecuaciones diferenciales bien definidas. Siendo así, conociendo las condiciones iniciales se podría conocer la predicción del tiempo en el futuro. Sin embargo, al ser éste un sistema caótico, y no poder conocer nunca con exactitud los parámetros que fijan las condiciones iniciales (en cualquier sistema de medición, por definición, siempre se comete un error, por pequeño que éste sea) hace que aunque se conozca el modelo, éste diverja de la realidad pasado un cierto tiempo. Por otra parte, el modelo atmosférico es teórico y puede no ser perfecto, y el determinismo, en el que se basa, es también teórico.

Movimiento caótico
Para poder clasificar el comportamiento de un sistema como caótico, el sistema debe tener las siguientes propiedades:
· Debe ser sensible a las condiciones iniciales.
· Debe ser transitivo.
· Sus órbitas periódicas deben formar un conjunto denso en una región compacta del espacio fásico.
Sensibilidad a las condiciones iniciales significa que dos puntos en tal sistema pueden moverse en trayectorias muy diferentes en su espacio de fase incluso si la diferencia en sus configuraciones iniciales son muy pequeñas. El sistema se comportaría de manera idéntica sólo si sus configuraciones iniciales fueran exactamente las mismas. Un ejemplo de tal sensibilidad es el así llamado "efecto mariposa", en donde el aleteo de las alas de una mariposa puede crear delicados cambios en la atmósfera, los cuales durante el curso del tiempo podrían modificarse hasta hacer que ocurra algo tan dramático como un tornado. La mariposa aleteando sus alas representa un pequeño cambio en las condiciones iniciales del sistema, el cual causa una cadena de eventos que lleva a fenómenos a gran escala como tornados. Si la mariposa no hubiera agitado sus alas, la trayectoria del sistema hubiera podido ser muy distinta.
La sensibilidad a las condiciones iniciales está relacionada con el exponente Lyapunov. El exponente Lyapunov es una cantidad que caracteriza el radio de separación de trayectorias infinitesimalmente cercanas.
Transitividad significa que hay muchas órbitas densas.
Sistemas dinámicos y teoría del caos
Los Sistemas dinámicos y teoría del caos son una rama de las Matemáticas, desarrollada en la segunda mitad del Siglo XX, que estudia lo complicado, lo impredecible, lo que no es lineal. A veces se la llama "Matemática de lo no lineal".
Para los no iniciados en matemáticas, el nombre "Teoría del Caos" puede inducir a error por dos motivos:
1. No necesariamente es una teoría sino que puede entenderse como un gran campo de investigación abierto, que abarca diferentes líneas de pensamiento.
2. Caos está entendido no como ausencia de orden, sino como cierto tipo de orden de características impredecibles, pero descriptibles en forma concreta y precisa. Es decir: un tipo de orden de movimiento impredecible.
La idea de la que parte la Teoría del Caos es simple: en determinados sistemas naturales, pequeños cambios en las condiciones iniciales conducen a enormes discrepancias en los resultados. Este principio suele llamarse efecto mariposa debido a que, en meteorología, la naturaleza no lineal de la atmósfera ha hecho afirmar que es posible que el aleteo de una mariposa en determinado lugar y momento, pueda ser la causa de un terrible huracán varios meses más tarde en la otra punta del globo.
Un ejemplo claro sobre el efecto mariposa es soltar una pelota justo sobre la arista del tejado de una casa varias veces; pequeñas desviaciones en la posición inicial pueden hacer que la pelota caiga por uno de los lados del tejado o por el otro, conduciendo a trayectorias de caída y posiciones de reposo final completamente diferentes. Cambios minúsculos que conducen a resultados totalmente divergentes.
En Teoría del Caos los sistemas dinámicos son estudiados a partir de su "Espacio de Fases", es decir, la representación coordenada de sus variables independientes. En estos sistemas caóticos, es fácil encontrar trayectorias de movimiento no periódico, pero cuasi-periódicas.
En este esquema se suele hablar del concepto de Atractores Extraños: trayectorias en el espacio de fases hacia las que tienden todas las trayectorias normales. En el caso de un péndulo oscilante, el atractor sería el punto de equilibrio central.
Los atractores extraños suelen tener formas geométricas caprichosas y, en muchos casos, parecidos o similitudes a diferentes escalas. En este caso, a estas formas que son iguales a sí mismas en diferentes escalas, se les ha dado en llamar fractales.
La llamada Teoría del Caos es un nuevo paradigma matemático, tan amplio y tan importante como pudo ser en su época la unión entre geometría y cálculo, surgida del pensamiento cartesiano aunque, quizás, por su inmadurez aún no se tenga claro todo lo que puede dar de sí esta nueva forma de pensamiento matemático, que abarca campos de aplicación tan dispares como la medicina, la geología o la economía.
La teoría no tiene un solo padre fundador, sino muchos. Entre ellos destacan Lorenz (meteorólogo), Benoit Mandelbrot (ingeniero de comunicaciones), Mitchell Feigenbaum (matemático), Libchaber (físico), Winfree (biólogo), Mandell (psiquiatra), y otros muchos, la mayoría de ellos vivos actualmente.
Atractores
Una manera de visualizar el movimiento caótico, o cualquier tipo de movimiento, es hacer un diagrama de fases del movimiento. En tal diagrama el tiempo es implícito y cada eje representa una dimensión del estado. Por ejemplo, un sistema en reposo será dibujado como un punto, y un sistema en movimiento periódico será dibujado como un círculo.
Algunas veces el movimiento representado con estos diagramas de fases no muestra una trayectoria bien definida, sino que ésta se encuentra errada alrededor de algún movimiento bien definido. Cuando esto sucede se dice que el sistema es atraído hacia un tipo de movimiento, es decir, que hay un atractor.
De acuerdo a la forma en que sus trayectorias evolucionen, los atractores pueden ser clasificados como periódicos, cuasi-periódicos y extraños. Estos nombres se relacionan exactamente con el tipo de movimiento que provocan en los sistemas. Un atractor periódico, por ejemplo, puede guiar el movimiento de un péndulo en oscilaciones periódicas; sin embargo, el péndulo seguirá trayectorias erráticas alrededor de estas oscilaciones debidas a otros factores menores.
Atractores extraños
La mayoría de los tipos de movimientos mencionados en la teoría anterior sucede alrededor de atractores muy simples, tales como puntos y curvas circulares llamadas ciclos limitados. En cambio, el movimiento caótico está ligado a lo que se conoce como atractores extraños, atractores que pueden llegar a tener una enorme complejidad como, por ejemplo, el modelo tridimensional del sistema climático de Lorenz, que lleva al famoso atractor de Lorenz. El atractor de Lorenz es, quizá, uno de los diagramas de sistemas caóticos más conocidos, no sólo porque fue uno de los primeros, sino también porque es uno de los más complejos y peculiares, pues desenvuelve una forma muy peculiar más bien parecida a las alas de una mariposa.
Los atractores extraños están presentes tanto en los sistemas continuos dinámicos (tales como el sistema de Lorenz) como en algunos sistemas discretos (por ejemplo el mapa Hènon). Otros sistemas dinámicos discretos tienen una estructura repelente de tipo Conjunto de Julia la cual se forma en el límite entre las cuencas de dos puntos de atracción fijos. Julia puede ser sin embargo un atractor extraño. Ambos, atractores extraños y atractores tipo Conjunto de Julia, tienen típicamente una estructura fractal.
El teorema de Poincaré-Bendixson muestra que un atractor extraño sólo puede presentarse como un sistema continuo dinámico si tiene tres o más dimensiones. Sin embargo, tal restricción no se aplica a los sistemas discretos, los cuales pueden exhibir atractores extraños en sistemas de dos o incluso una dimensión.
Algo más de atractores
Los atractores extraños son curvas del espacio de las fases que describen la trayectoria de un sistema en movimiento caótico. Un sistema de estas características es plenamente impredecible, saber la configuración del sistema en un momento dado no permite predecir con veracidad su configuración en un momento posterior. De todos modos, el movimiento no es completamente aleatorio.
En la mayoría de sistemas dinámicos se encuentran elementos que permiten un tipo de movimiento repetitivo y, a veces, geométricamente establecido. Los atractores son los encargados de que las variables que inician en un punto de partida mantengan una trayectoria establecida, y lo que no se puede establecer de una manera precisa son las oscilaciones que las variables puedan tener al recorrer las órbitas que puedan llegar a establecer los atractores. Por ejemplo, es posible ver y de cierta manera prever la trayectoria de un satélite alrededor de la Tierra; lo que aparece en este caso como algo indeterminado, son los movimientos e inconvenientes varios que se le pueden presentar al objeto para efectuar este recorrido.
Aplicaciones y atractores
La Teoría del Caos y la matemática caótica resultaron ser una herramienta con aplicaciones a muchos campos de la ciencia y la tecnología. Gracias a estas aplicaciones el nombre se torna paradójico, dado que muchas de las prácticas que se realizan con la matemática caótica tienen resultados concretos porque los sistemas que se estudian están basados estrictamente con leyes deterministas aplicadas a sistemas dinámicos. En Internet se desarrolla este concepto en "Teoría del Caos, el tercer paradigma" -debe buscarse usando comillas-, de como la estadística inferencial trabaja con modelos aleatorios para crear series caóticas predictoras para el estudio de eventos presumiblemente caóticos en las Ciencias Sociales. Por esta razón la Teoría del Caos ya no es en sí una teoría: tiene postulados, fórmulas y parámetros recientemente establecidos con aplicaciones, por ejemplo, en las áreas de la meteorología o la física cuántica.